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液體動力學

發布時間:2009-11-22 來源:揚子工具集團 瀏覽次數:11642

液體動力學
主要是研究液體流動時流速和壓力的變化規律。流動液體的連續性方程、伯努利方程、動量方程是描述流動液體力學規律的三個基本方程式。前兩個方程反映了液體的壓力、流速與流量之間的關系,動量方程用來解決流動液體與固體壁面間的作用力問題。主要內容是
n             基本概念
n             流量連續性方程
n             伯努利方程
n             動量方程

一、基本概念
1、理想液體:既無粘性又不可壓縮的假想液體稱為理想液體。
2、恒定流動:液體中任何一點的壓力、速度、密度等參數都不隨時間變化而變化的流動。
3、非恒定流動:液體中任何一點的壓力、速度、密度有一個參數隨時間變化而變化的流動。4、一維流動  整個液體在管道中作線形流動。
5、二維流動  整個液體在管道中作兩坐標的平面流動。
6、三維流動整個液體在管道中作三坐標空間流動。
7、流線:某一瞬時液流中一條條標志其各處質點運動狀態的曲線。流線間不能相交,不能轉折,但可相切,流線是一條條光滑的曲線,見圖2-7a。
8、流管:在流場的空間劃出一任意封閉曲線,封閉曲線本身不是流線,經過該封閉曲線上每一點作流線,這些流線組合成一表面,稱為流管,見圖2-7b。
9、流束:流管內的流線群稱為流束,見圖2-7c。
微小流管或流束  微小流束截面上各點處的流速可以認為是相等的。
10、緩變流動:流線間的夾角很小,或流線曲率半徑很大的流動稱為緩變流動。平行流動和緩變流動都可以是一維流動。
11、通流截面:流束中與所有流線垂直的橫截面稱為通流截面,其可能是平面或是曲面,見圖2-7c所示。

二、連續方程
1、流量與平均流速
1)流量  單位時間內流過某通流截面的液體體積,用q表示,即
                     
由于實際液體具有粘度,液體在某一通流截面流動時截面上各點的流速是不相等,流量表示為
     
通過整個通流截面的總流量為
     
2)平均流速流  過通流截面A的流量與以實際流速流過通流截面A的流量相等,即
 
所以                              
2、 連續方程

如圖2-8所示,在恒定流動、液體是不可壓縮條件下,根據質量守恒定律

∵ρ1=ρ2故上式簡化為
  
對上式等號兩端進行積分,則     
根據式(2-24),上式可寫成      
或                                     
=常數    
所以不管平均流速和液流通流截面面積沿著流程怎樣變化,流過不同截面的液體流量仍然相同。
三、伯努利方程
1、理想液體的伯努利方程
假設從理想液流中沿流束方向取出一段長度為ds,面積為dA的微元體,如圖2-9,
由牛頓第二定律
   
因為速度u是時間和空間的函數,所以
   
對于恒定流動  ,則上式變成
       
又因為            ,    
整理得
      
將上式沿流線s從截面1到截面2進行積分,得
              
上式兩邊同除以g,移項后整理得
       
因為截面1、2是任意取的,故上式也可寫成
常數            
上式就是只受重力作用的理想液體作恒定流動時的伯努利方程或能量方程。

2、理想液體伯努利方程的物理本質
只受重力作用下的理想液體作恒定流動時具有壓力能、位能和動能三種能量形式,在任一截面上這三種能量形式之間可以互相轉換,但這三種能量在任意截面上的形式之和為一定值。。

3、 實際液體的伯努利方程

圖2-9中的微元體從截面1流到截面2因粘性而損耗的能量,則實際液體微小流束作恒定流動時的能量方程為
             
對于緩變流動,
動能修正系數是指單位時間內過流截面處液流的實際動能和平均動能之比
       

如圖2-10所示,通過微流束取一流管,截面為A1、A2,微流束兩端的截面為dA1、dA2,兩截面相應的壓力、速度、離基準面的位置分別為p1、u1、Z1和p2、u2、Z2。將方程兩邊在A1和A2面上進行積分,得                        
因為是一個常數,上式左右兩邊的第一項積分中值可從積分符號內取出來,即

同理             
將上式左右兩邊的第二項積分,得

同理                       
設hw代表總流在這流段上的單位重量液體的平均能量損失則有                   
把上面計算的各式整理后可得
             
其中hw為單位重量液體從截面A1流到截面A2過程中的能量損耗。
4、應用實際液體的伯努利方程時必須注意以下幾點
1)液流是只受重力作用和不可壓縮,密度在流動中保持不變。
2)液流是恒定流動,如不是恒定流動,則要加入慣性項。
3)要取在平行流或緩變流上,至于兩截面之間是什么流動沒有關系, 為通流截面的同一點上的兩個參數,通常把這兩個參數都取在通流截面的軸心處,公式中的速度取平均速度。

例2-2    如圖2-11所示,液體在管道內作連續流動,截面1-1和2-2處的通流面積分別為A1和A2,在1-1和2-2處接一水銀測壓計,其讀數差為Δh,液體密度為ρ,水銀的密度為ρ′,若不考慮管路內能量損失,試求:(1)截面1-1和2-2哪一處壓力高?為什么?(2)通過管路的流量q為多少?
解   1)截面1-1處的壓力比截面2-2處高。
理由是:由伯努利方程的物理意義知道,在密閉管道中做穩定流動的理想液體的位能、動能和壓力能之和是個常數,但互相之間可以轉換,因管道水平放置,位置水頭(位能)相等,所以各截面的動能與壓力能互相轉換。因截面1的面積大于截面2的面積,根據連續性方程可知,截面1的平均速度小于截面2的平均速度,所以截面2的動能大,壓力能小,截面1的動能小,壓力能大。
2)以1-1和2-2的中心為基準列伯努利方程。由于Z1=Z2=0,所以
    
根據連續性方程                  
U形管內的壓力平衡方程為
      
將上述三個方程聯立求解,則得



例2-3  如圖2-12所示,液壓泵的流量為q=32L/min,吸油管通道d=20mm,液壓泵吸油口距離液面高度h=500mm,液壓泵的運動粘度ν=20×10-6  m2/s,密度ρ=900kg/m3,不計壓力損失,求液壓泵吸油口的真空度。
解    吸油管的平均速度為

油液運動粘度

油液在吸油管中的流動狀態   

此時液體在吸油管中的運動為層流狀態。選取自由液面Ι-Ι和靠近吸油口的截面Ⅱ-Ⅱ列伯努利方程,以Ι-Ι截面為基準面,因此Z1=0,υ1≈0(截面大,油箱下降速度相對于管道流動速度要小得多),p1=pa(液面受大氣壓力的作用),即得如下伯努利方程

因                               
所以泵吸油口(Ⅱ-Ⅱ截面)的真空度為

四、動量方程
動量定理認為:作用在物體上的合力大小應等于物體在力作用方向上的動量變化率,即
     
如圖2-13所示,動量的增量為
 
式中 
             
         
所以
      
通過微小流束的動量的變化可寫成下式

根據液體的連續性方程,q1 = q2 = q
則通過總流的動量差

用動量修正系數進行修正。動量修正系數為實際動量與平均動量之比
  
所以
      
             
應用上式時必須注意以下幾點
1)適當選取控制體
2)式中均為向量,計算時應列出指定方向上的動量方程
3)等式左邊的力是作用在被研究的流體段上的所有外力;控制體內的液體與固體壁面間為相互作用力,求作用在固體壁面上的力時,要應用作用力與反作用力。
4)等式右邊的為流出的速度,為流入的速度,并注意方向。
例2-4    有一股流量為,密度為的油流,以速度為垂直射向平板,之后分兩股平行平板射出,如圖2-14所示。求射流對平板的作用力。
解  是正確選用控制體。本題中以截面1-1、2-2、3-3所劃出的區域為控制體積


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